10-03-3: 万有引力による位置エネルギーの公式の導出

万有引力による位置エネルギーの公式 $U=-G\frac{Mm}{r}$ を証明します！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　位置エネルギーの定義(10-03-2)
　「ある位置から基準点まで保存力がすることのできる仕事」　　　　　　　　　　　　(1)
から始めることにしよう。この定義は、重力による位置エネルギーなら「高さ $h$ から高さ0の所(基準点)まで重力がすることのできる仕事(1-17-1)」(すなわち $mgh$ )である。求めたいのは、質量 $M$ の質点Mから距離 $r$ 離れた位置で、質量 $m$ の質点ｍが持つ万有引力による位置エネルギー $U$ の公式。この場合、基準点を無限遠に取るのが慣習だから（）、 $U$ の定義は(1)にならって
　「」(2)
となる。この仕事を計算をするために、図１のように質点Ｍの位置を原点Oとする $x$ 軸を取り、任意の位置 $x$ に質点ｍ及び万有引力の $x$ 成分 $F_x$ を書く。

　ここで1-48-1より　 $\displaystyle F_x=-G\frac{Mm}{x^2}\:$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)
　さて、(3)の $F_x$ は $x^2$ に反比例で、一定ではない。ゆえに、仕事 $W=$ (力の移動方向成分)×(距離)(1-16-1)とすることはできない。そこで1-18-1のような、力の移動方向成分 $F$ が変化していく場合の $F$ のする仕事= $F$ - $x$ グラフの面積　の考え方を用いて、
　　　　　　　　
と計算することにする。ということは、
　(2)の $U$ =（質点Mより $r$ へだてた位置から無限遠まで $F_x$ のする仕事）
　　　　 =（ $x=r$ から $x=\infty$ まで $F_x$ - $x$ グラフの囲む面積）　　　　　　　　　　　(4)
　図２に $F_x$ - $x$ グラフを示した。(3)の通り $x^2$ に反比例のグラフである。(4)の面積を赤色で囲ってある。　[ $F$ - $x$ グラフや $v$ - $t$ グラフの単元の説明通り、赤く囲まれたグラフの面積を、横幅の微小な長方形のいくつもの連なりで置き換える階段グラフ(の一部)を示してある。斜線を施した長方形の面積は $F_x$ × $\Delta x$ だから、微小仕事を表している。]　
　ところで、。(4)の定積分は具体的には、積分の中身(被積分関数)を縦軸の量 $F_x$ 、積分変数を横軸の量 $x$ ( $dx$ )、積分の下端・上端をそれぞれ $x=r,\,\infty$ として、
　 $\displaystyle U=\int_{r}^{\infty}F_xdx$ 　[ (3)を代入 ]　= $\displaystyle \int_{r}^{\infty}\left(-G\frac{Mm}{x^2}\right)dx$ 　　　　　　　　　　　(5)

　(5)から $U<0$ と分かるが、このとき力 $F_x$ は負の向き( $F_x<0$ )、移動の向き( $x=r$ から $x=\infty$ )は正の向き、つまり力の向きと移動の向きが逆だから、負の仕事(1-16-1)、すなわち $U<0$ となり適している。
　(5)より　 $\displaystyle U=-GMm\int_{r}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx=-GMm\left[-\frac{1}{x}\right]_{r}^{\infty}$
　　 $\displaystyle =-GMm\left(-\frac{1}{\infty}+\frac{1}{r}\right)$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)
　 $\displaystyle \frac{1}{\infty}→0$ なので　 $\displaystyle U=-G\frac{Mm}{r}$ 　　　　　　　　　　　　　(＊)
　これが1-48-1の万有引力による位置エネルギー $U$ の公式である。

　ポイントすぐ下の初めの段落で「基準点を無限遠に取る」といった理由が、この時点でハッキリする。仮に無限遠 $x=\infty$ ではなく、どこか有限の位置 $x=r_0$ を基準に取ると、(5)の積分は
　 $\displaystyle U=\int_{r}^{r_0}\left(-G\frac{Mm}{x^2}\right)dx$ 　となる。すると(6)の計算は
　 $\displaystyle U=-GMm\int_{r}^{r_0}\frac{1}{x^2}dx=-GMm\left[-\frac{1}{x}\right]_{r}^{r_0}=-GMm\left(-\frac{1}{r_0}+\frac{1}{r}\right)$ 　となり、 $U$ の公式がいかにも覚えづらい式 $\displaystyle U=-GMm\left(-\frac{1}{r_0}+\frac{1}{r}\right)$ 　となってしまう。そう、万有引力による位置エネルギーの基準点を無限遠に取る理由は、公式を覚えやすくする( (＊) )単なる便宜上なのである。

Posted by AKJ