1-17-1: 力学的エネルギー保存則 ー 力学攻略の基本 第2弾

力学的エネルギー保存則は力学の中で格段に重要度が高い法則。きっちり理解しましょう！　　→　力学攻略の基本 第１弾は1-08-1へ　　　　　　　

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　まずは定義から。（1-02-1でやった通り、「○○と呼ぶ・名付ける・決める」タイプの式を定義式という。名付けておくと役に立つから定義するわけである。）
　重力による位置エネルギー（図１）
=基準点からの高さ\(h\)の所にある物体に対して、基準点まで重力がすることのできる仕事
=(力の移動方向成分)×(距離)= \(mg\)×(高さ)\(h\)　
（つまり、基準点とは高さ0と決めておく点。とりあえず決めておくだけの点なので、基準点は別に図１のように地面の高さになくてもよい(例えば上空でもよい)。）

　力学的エネルギー= 運動エネルギー + 位置エネルギー　
　こう定義すると、例えば図２のような落体の運動で次のことが成り立つ(すぐに証明する)。
　あとの力学的エネルギー = まえの力学的エネルギー　　つまり
　あとの運エネ ＋ 位エネ = まえの運エネ ＋ 位エネ　　 つまり
　　　\(\displaystyle \frac{m}{2} v^2 \: \)　 + \(mgh \)　=　 \(\displaystyle \frac{m}{2}
{v_0}^2\)　 　+ \(mgh_0 \)　　　(✩)　
つまり、力学的エネルギー=一定。物理では、ある量が時間的に一定のままであること（すなわち、あと＝まえ になること）を「保存する」と表現するから、これを力学的エネルギー保存則と言う。

　(✩)式の証明には、1-16-1でやった（運動エネルギー変化=仕事）、すなわち
　\(\frac{m}{2} v^2- \frac{m}{2} {v_0}^2 =W \)　　　　　　　　　　　　　　(1)
を用いる。図２で
　仕事\(W=\)(力の移動方向成分)×(距離)
　　　　　\(=mg×(h_0-h)=mgh_0-mgh \)　　(2)
　(変位と距離の違いに注意。変位\(\Delta x\)=あと－まえ=\(h-h_0<0\)は符号を持つ量だが、距離=\(|\Delta x| =h_0-h >0\)は符号を持たない。)
　(2)を(1)に代入して　\(\frac{m}{2} v^2- \frac{m}{2} {v_0}^2 =mgh_0-mgh \)
　　∴　\(\frac{m}{2} v^2+mgh= \frac{m}{2} {v_0}^2 +mgh_0 \)　　よって(✩)が証明された。
　物体の運動中、運動エネルギー\(\frac{m}{2} v^2 \)も位置エネルギー\(mgh\)も各々は値が変わっていくのに、それらの合計は一定のままだというのが面白い。位置エネルギー\(mgh\)が減れば、運動エネルギー\(\frac{m}{2} v^2 \)が増えてそれらの合計は一定とも言える。つまり高さ\(h\)が減ると速さ\(v\)が増える（逆に\(h\)が増えれば\(v\)は減る）。

　エネルギー保存則の威力を実感するために、図３で、点Aを初速度0で出発した物体が点Bを通過するときの速さ\(v\)を求めてみよう（摩擦はないとする）。今まで通りまず軸と力、次に\(ma=F\)、\(v,x\)を調べるとやるのは面倒だ。しかし、証明はしないが結論だけを述べると、エネルギー保存則は鉛直方向の運動だけでなく、運動方向によらず成り立ち、物体がカーブを描くような曲線運動でさえも成り立つ。とりわけ、\(v\)がどちらを向いていようが、ともかく運動エネルギーは速さ\(v\)を用いて\(\frac{m}{2} v^2\)と計算すればよい（この証明について学びたい人は、まず次の単元1-17-2の最後の段落を参照のこと）。すると(✩)より
　　　　あと　　　=　　　まえ　　　　　
　　\(\displaystyle \frac{m}{2} v^2+mgh= \frac{m}{2} 0^2 +mgh_0 \)　　
　このようにして、図３でたった１つの式で\(v\)が求まる。
　　∴　\(\displaystyle \frac{m}{2} v^2 =mg(h_0-h) \)　　　∴　\(v^2 =2g(h_0-h) \)　　　
　　∴　\(v =\sqrt{2g(h_0-h)} \)
　（なお、本当は速さは、速度\(v\)に絶対値を付けて速さ\(|v|\)と書くべきなのだが、略して速さ\(v\)と書いてしまうことも多いから、念のため。）

　ともかく、なぜこんなに簡単に速さが求まったのかと言えば、エネルギー保存則(✩)の中に\(v\)（速さ）と\(h\)（高さすなわち位置）が入っているからだ。速さや位置を求めるならエネルギーに限る。運動方程式は面倒だ。ただし、エネルギー保存則の中には「時間」が入っていない。ということは、エネルギー保存則では時間は計算できない。「時間を求めよ」という問題に対しては、運動方程式の流れで行くしかない。結局、運動方程式とエネルギーは、次のようにして使い分けるとよい。