1-22-1: 単振動の方程式

いよいよ、単振動の位置$x$ と時間$t$ の関係式$x=A\sin(\omega t+\phi)+x_c$に入っていきます！　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　この単元を学ぶ人は、前もって1-14-1: 弾性力 という単元に目を通しておくことをお勧めする。
　図１のように、天井から質量の無視できるばね定数$k$、自然長$l$のばねを吊るし、その先端に質量$m$の小球を取り付けてある。小球は鉛直方向のみを運動するものとし、重力加速度を$g$とする。左図はばねが伸びた状態、右図は縮んだ状態で、いずれも運動中の任意の瞬間を想定している。弾性力(黄色)の向きは自然長($x=l$の位置)に戻ろうとする向きだから、左図では上向き、右図では下向き。弾性力の大きさは$k$×のび・ちぢみで、のび・ちぢみとは自然長からのずれ$|x-l|$。したがって、のびは$x-l$、ちぢみは$l-x$である。

　運動方程式は、下向きを正として
　　のびの場合　　$ma=-k(x-l)+mg$　　　　　　　(1)
　　ちぢみの場合　$ma=+k(l-x)+mg=-k(x-l)+mg$
となるから、両者ともに同形である。のび$x-l$に対してちぢみ$l-x$は逆符号になるが、力の向きものびとちぢみで逆符号だから、結局 $ma=-k(x-l) \cdots$ と同形になる。ということは、弾性力がらみの運動方程式は、のび・ちぢみの両方を図に書く必要はなく、一方だけ調べればよいということが言える。

　さて、つり合いの位置を$x=x_c$とおくと、(1)より $0=-k(x_c-l)+mg$
　　$\displaystyle ∴　x_c=l+\frac{mg}{k}$
　すると(1)は　$\displaystyle ma=-k(x-l-\frac{mg}{k})=-k[x-(l+\frac{mg}{k})]$
　　　　　　　　　 $=-k(x-x_c)$　　と変形できるから、　
　　$\displaystyle a=-\frac{k}{m} (x-x_c)$ 　　
　ここで $\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$ とおくと後々便利で　
　　$a=-\omega^2 (x-x_c)$　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)
　これが成り立つときは、1-23-1で見る通り必ず $x=A\sin(\omega t+\phi)+x_c$ なる単振動の有名な公式が成り立ち、(2)を単振動の方程式という。これは単振動の定義式である。つまり、単振動（1-18-1で扱った往復運動）は、運動方程式を立てて$a$を求めれば、必ず
　　$a=-$〇($x-$□) の形　になる。
　ということで、次の単元1-23-1でさっそく $x=A\sin(\omega t+\phi)+x_c$ を導こう。

　なお、1-01-1、1-02-1でやった通り、速度$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}$、加速度$\displaystyle a=\frac{dv}{dt}$だから、
　 $\displaystyle a=\frac{d}{dt}v=\frac{d}{dt}\frac{d}{dt}x=\frac{d^2}{dt^2}x= \frac{d^2x}{dt^2}$
　$\displaystyle$つまり(2)式は　$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} =-\omega^2 (x-x_c)$
　これは、変数$x$の2階微分$=-$〇($x-$□) の形　と読める。この形で覚えておくと応用が効いて便利だ。たとえば電気回路分野に入ったときの電荷$Q$が　変数$Q$の2階微分$=-$〇($Q-$□) の形　になれば単振動の考え方が応用できる、などである。