2-13-1: ドップラー効果

重ね合わせの原理からはいったん離れて、ドップラー効果なる重要な現象を扱います。　→　＜例題＞は2-13-2へ

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　音の高低は振動数で決まる。音が高いとは振動数が大きいということ。ならば、「パトカーのサイレンはパトカーが近づくときには高く聞こえ、遠ざかるときには低く聞こえる」は、「音源が近づいていると振動数は大きくなり、遠ざかっていると小さくなる」と言いかえられる。このように、音源（または観測者）の間に相対的な運動があるとき振動数が変化する現象をドップラー効果という。なお、観測者が音源に近づいているとやはり振動数は大きくなり、遠ざかっていると小さくなる。
　ドップラー効果は2部構成。(I) 音源が運くことによるドップラー　(II) 観測者が運くことによるドップラー　以下この順序で説明していく。

(I)　音源が動くとき

　理解しておくべきことは1⃣ 2⃣ の２つ。
1⃣　音速は、音源が静止しているか運動しているかによって変わらない。
　10m/sで動くおんさから340m/sの音が発せられたとしても、音速は10+340=350m/s（合成速度）にはならず340m/sである。なぜか。一言で言えば「それが波動の法則性」ということ、それでよい。（が、参考までに補足すると ―― 2-01-1でやった通り、波動では媒質粒子は中心のまわりに振動するのみで、遠くへ遠くへ移動していかない。遠くへ伝わるのは振動、つまり、一つの粒子の振動が少しずつ遅れたタイミングで隣りの、そのまた隣りの粒子の振動を引き起こしていく。その振動の伝わる速さが波の速さだから、それはひとえに振動を伝える媒質の性質だけによって決まる。波源を動かしても、振動を伝える媒質の性質を変えない限り、振動の伝わる速さ（波の速さ）は変えられないのだ。）

2⃣　波長は変化する                    
　これを理解するために、まず音源（おんさ）が静止しているときの波面の様子を押さえよう（図１）。音は、発せられて後1s間に音速\(V\)×1s進み、波面は半径\(V\) の球面となる。1s間におんさは振動数\(f\)回振動して\(f\)個の波を出すから、1s後の波面の数は\(f\) 個（図１では\(f\) =3Hzとした）。すると
　\(\displaystyle \lambda =\)波１個の長さ\(\displaystyle =\frac{V}{波の数} =\frac{V}{f} \)

　一方、音源が速度\(v_s\) で観測者に近づいていくと図２のようになる。0sで●から発信される音は、1s間に\(V\) 進んで半径\(V\) の球面（○印）となる（1⃣ 音速は音源が動いても\(V\) のまま）。\(\frac{1}{3}\)sで▲から出る音は、1s後までの\(\frac{2}{3}\)s間に\(\frac{2}{3} V \)進んで半径\(\frac{2}{3} V \)（△印）、\(\frac{2}{3}\)sで■から出る音は、1s後までの\(\frac{1}{3}\)s間に\(\frac{1}{3} V \)進んで□印。ゆえに1s後の波面は図２となり、\(V-v_s\)中に\(f=3\)個の波が入っていることが見て取れる。よって観測者へ届く波長
　\(\displaystyle \lambda ' =\)波１個の長さ\(\displaystyle =\frac{V-v_s}{波の数} =\)\(\displaystyle \frac{V-v_s}{f} \)　　　　(1)
　\(\displaystyle \)図１と２を見比べると、音源静止の図１では、\(V\) の中に\(f\)個の波が入るから\(\displaystyle \lambda =\frac{V}{f}\)。観測者に近づく図２では、\(V\)より短い\(V-v_s\)中に\(f\)個の波が入るから、\(\lambda '\)は\(\displaystyle \frac{V}{f} \)より短く\(\displaystyle \lambda '=\frac{V-v_s}{f}\) 。音源が近づくとき波長は縮むと分かる。
　ドップラー効果は、「自分の手で」図２の作図をしながら理解し、かつ波長公式(1)を覚えることが大事。図２も波長公式もよく出題のテーマになる。

　念のため、音源が観測者から速さ\(v\)で遠ざかっている場合を考えよう。これは図２で観測者が左側に位置している場合と考えればよい（図３）。\(V+v\)中に\(f\)個の波が入っているから、観測者へ届く波長
　\(\displaystyle \lambda '=\)波１個の長さ\(\displaystyle =\frac{V+v}{波の数} =\frac{V+v}{f} \)　　(＊)
　つまり\(\displaystyle \lambda '>\frac{V}{f}=\lambda \)だから、音源が遠ざかるとき波長は伸びると分かる。
　さて、ドップラー効果では音の伝わる向きを速度の正の向きに取ると覚えるとよい（図３では左向き）。図３中の速さ\(v\)は右向きだから、音源の速度としては\(v_s=-v\)である。これを(＊)に代入すれば
　 \(\displaystyle \lambda '=\frac{V-v_s}{f}\)　で、やはり(1)が成立している。
　

(II)　観測者が動くとき

　理解しておくべきことは、音が動く観測者に対して相対速度(相対音速)\(V’\)でやってくるということ。1⃣で述べたように音源が運いても音速は変わらないが、観測者が動くと相対的な音速になるという意味だ。図４のように音の伝わる向きを正として観測者の速度\(v_o \)とする。 動く観測者に対する相対速度は「に対するを引く」と得られる（1-30-1）から、
　相対音速\(V’=V-v_o\) 　　　　　　　　　　　　(2)

(1)(2)を組合わせると、ドップラー効果の振動数公式が得られる

　縮んだ(伸びた)波長\(\lambda ' \) (1)　が、相対音速\(V’\) (2)　でやってくるのだから、観測者に届く振動数\(f’\)は
　\(\displaystyle f’=\frac{V’}{\lambda '}=\)\(\displaystyle \frac{V-v_o}{\frac{V-v_s}{f}}=\)\(\displaystyle \frac{V-v_o}{V-v_s} f \) 　　　　　　(3)
　(1)(2)を組合わせた(3)の式変形を何回か練習すれば、振動数公式は容易に頭に入るだろう。
　ここで、例えば音源が近づき観測者が静止している場合を考えると、図４より\(v_s>0,v_o=0\)だから(3)は\(\displaystyle f’=\frac{V}{V-v_s} f \) となる 。\(\displaystyle \frac{V}{V-v_s}\)は(分母より分子の方が大きく)１より大きいから\(f’>f\) 、これはポイントすぐ下の段落中に述べたことと合う。
　また、観測者が近づき音源が静止している場合、図４より\(v_s=0,v_o<0\)だから(3)は\(\displaystyle f’=\frac{V-v_o}{V} f \) 。\(v_o<0\)だから\(V-v_o>V\) すなわち\(\displaystyle \frac{V-v_o}{V}\)は(分母より分子の方が大きく)１より大きいから\(f’>f\) 、これもポイントすぐ下で述べたことと合う。