1-32-1: ２体問題 ＜例題＞ ー 力学攻略の基本 第4弾

2体問題はしばしば運動量保存則がカギとなります！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　２体問題とは、２物体が互いに絡み合いながら運動するタイプの問題で、入試の頻出テーマである。
　例えば図１。なめらかな曲面をもつ質量\(M\)の台をなめらかで水平な床の上に置き、その曲面上の床から高さ\(h\)の所に質量\(m\)の小球を置く。初め台と小球をともに手で支えて静止させておき、両方から同時に静かに手をはなすと、小球は曲面を下っていく。小球が床に達したときの小球及び台の速さを求めてみよう。重力加速度を\(g\)とする。
　床に達したときの小球、台の速度を図２のように右向きを正としてそれぞれ\(v,V\)と図示する、おく。ただし、速度が負の値で求まったなら負の向きへ動くという意味であって、決して正の向きへ運動中という意味の図ではない（この図の書き方は1-31-2と同様である）。

　ここで、

例題　

　\(v,V\)を求めよ。

解答・解説

　さて、力学という分野は何といっても1-08-1: 力学攻略の基本 が根幹である。つまり、まずは軸と力を書き込む（図３）。
　次に1-08-1にならって\(ma=F\)と行きたいところだが、曲面を下るにつれ次々と小球の加速度の向きが変化していく（等加速度ではない）し、そもそも曲面の形状も与えられているわけではない。\(ma=F\)では明らかに行き詰まってしまう。
　そこで、2体問題を解くときには、２体全体に広く目を配って「外力はどれか？」と問う意識付けが極めて重要になる。
　1-31-1でやった通り、外力とは注目している２物体(台と小球)以外から働く力だから、図３の赤い矢印（地球から小球に、床から小球に）は外力である。
　一方、内力とは注目している２物体どうしで及ぼし合う作用反作用のペアだから、青い矢印。
　すると、とっさに外力が鉛直方向に揃っている、水平方向には外力がない、と気付くであろう。
　あとは、水平方向に外力がないから水平方向の運動量保存が成り立つ（1-31-1）と行ければ、シメタもの。
　これと力学的エネルギー保存を連立すれば、式が２つ、未知数が\(v,V\)の２つで解ける。
　図１をまえ状態、図２をあと状態として、
　　　　　　　　　　　　　　あと　　　　　　まえ
　水平方向の運動量保存　　\(mv+MV\)　 \(=\)　 \(0\)　　　(1)
　力学的エネルギー保存　\(\displaystyle \frac{m}{2}v^2+\frac{M}{2}V^2\) \(=\) \(mgh \, \)　　(2)
　　[ 床を高さ0に取って、まえ状態の位置エネルギーは\(mg0+Mg0\)という意味 ]

　(1)より \(\displaystyle V=-\frac{m}{M}v \)　　　　　　　　　　　　　　　(3)
　(2)に代入　\(\displaystyle \frac{m}{2}v^2+\frac{M}{2}\frac{m^2}{M^2}v^2 =mgh \)
　　∴　\(\displaystyle \frac{m}{2}v^2 \left( 1+\frac{m}{M} \right)=mgh \)　　　∴　\(\displaystyle \frac{m}{2}v^2\frac{M+m}{M}=mgh \)
　　∴　\(v=\)　答　\(\displaystyle \sqrt{ \frac{M}{M+m}2gh } \)　
　(3)より 　答　\(\displaystyle V=-\frac{m}{M} \sqrt{ \frac{M}{M+m}2gh } \)　　
　\(V<0\)と求まる理由は、図３の小球から台に働く\(N\)が斜め左向きで、台が(\(x\)軸を右向き正として)左向きに押されるからである。