1-31-2: 運動量保存則 ＜例題１＞（１次元衝突）

入試で頻出の1次元衝突を是非マスターしましょう！　→　1-31-3＜例題２＞へ続く　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例題１　

　図のように、水平で滑らかな床の上を紙面内で運動または静止する２つの小球A（質量\(m\)）、B（質量\(M\)）について考える。いま、静止しているBにAが速さ\(v_0\)で衝突した。衝突のはね返り係数\(e\)をとし、また右向きを正の向きとする。
問１　衝突後のA、Bの速度を求めよ。
問２　(i) \(m<<M \)　(ii) \(m>>M \)　(iii) \(m=M\)　の各場合について、\(e=1\)のときA、Bの速度はいくらになるか答えよ。
　[ << (>>) は「ひじょうに小さい（大きい）」という意味の記号。つまり \(m<<M \)は 「\(m\) は\(M\)に比べると無視できるほどにひじょうに小さい」ということである ]
問３　AがBから受ける力積を求めよ。

解答・解説

　図１のように衝突後のA、Bの速度をそれぞれ\(v,\,V \)とおく。速度は正の向きに図示してあるが、たとえば求まった\(v\)が負ならば、衝突後Ａは負の向きに動くという意味。
問１　１次元衝突を調べる上での主たる目的は、衝突後の２物体の速度を求めることである。ゆえに式が２つ必要。1-31-1でやった通り、１次元衝突では運動量保存則が成り立つ。これとはね返り係数の式を連立すればよい。
　　　　　　　　　　　　　　あと　　　　　まえ　
　図１より、運動量保存　\(mv+MV=mv_0+M0 \)　　(1)
　はね返り係数の式　　　 　　\(v-V=-e(v_0-0) \)　　(2)
　(2)より　\(V=v+ev_0 \, \)　　　　　　　　　　　　　　　(3)
　(1)に代入　\(mv+M(v+ev_0)=mv_0 \)　　\(∴　(m+M)v=(m-eM)v_0 \)
　　\(\displaystyle ∴　v=\frac{m-eM}{m+M}v_0 \)　　　　
　(3)より　\(\displaystyle V=\frac{m-eM　+　e(m+M)}{m+M} \; v_0 =\frac{(1+e)m}{m+M}v_0 \)　　
　答　A: \(\displaystyle \frac{m-eM}{m+M}v_0 \)　　B: \(\displaystyle \frac{(1+e)m}{m+M}v_0\)

問２　\(e=1\)のとき　\(\displaystyle v=\frac{m-M}{m+M}v_0 \)　、\(\displaystyle V=\frac{2m}{m+M}v_0 \)
(i)　\(m<<M \)により　\(\displaystyle v≒\frac{0-M}{0+M}v_0 =-v_0 \)　、\(\displaystyle V≒\frac{0}{0+M}v_0 =0 \)　　　　
　答　A: \(-v_0\) 　B: \(0\)
　[ いま\(m<<M \)ということは、Bがずっしり重いレンガ、Aが軽いピンポン玉のようにイメージできる。するとBは衝突後止まったままであることが容易に想像できる。また、はね返り係数1(100%)だから、Bから見たAの衝突前の相対速度\(v_0-0=v_0\)に対し、衝突後の相対速度が\(-1×(v_0-0)=-v_0 \)になる ]
　[ このように、レンガ、ピンポン玉のような極端な状況をイメージするのがコツ ]
(ii)　\(m>>M \)の場合の計算は次のようにやる。分母分子を\(m\)で割って、\(\frac{M}{m}\)がほぼ0であることに注意すると、
　\(\displaystyle v=\frac{1-\frac{M}{m}}{1+\frac{M}{m}}v_0 ≒ \frac{1-0}{1+0}v_0=v_0 \)　、\( \displaystyle V=\frac{2}{1+\frac{M}{m}}v_0 ≒ \frac{2}{1+0}v_0=2v_0 \)
　答　A: \(v_0\) 　B: \(2v_0\)
　[ \(m>>M \)なので、Aがずっしり重いボーリング玉、Bが軽いピンポン玉のようにイメージできる。するとAは衝突後速度を変えず\(v_0\)のままであることが容易に想像できる。また、はね返り係数1だから、Bから見たAの衝突前の相対速度\(v_0\)に対し、衝突後の相対速度が\(v_0-2v_0=-v_0 \)になる ]
(iii)　\(m=M \)により　\(\displaystyle v=\frac{m-m}{m+m}v_0 =0 \)　、　\(\displaystyle V=\frac{2m}{m+m}v_0 =v_0\)　　　
　答　A: \(0\) 　B: \(v_0\)
　[ A,Bの衝突前の速度がそれぞれ\(v_0,\,0 \)なのに対し、衝突後はそれぞれ\(0,\,v_0 \)になったということは、速度がAとBで入れ替わっている（\(v_0,\,0 \)から\(0,\,v_0 \)に）。これを、「２球の１次元弾性衝突(\(e=1\))では速度が交換する」という。A,Bの衝突前の速度がたとえば\(3v_0,\,v_0 \)なら\(v_0,\,3v_0 \)に交換する、など。この結果は覚えておくと便利である ]

問３　Aの受けた力積＝「Aの」運動量変化（図１より）\(=mv-mv_0\)
　\(\displaystyle =m(v-v_0)=m\left( \frac{m-eM}{m+M}v_0 -v_0 \right) \)
　\(\displaystyle =m\frac{m-eM　-(m+M)}{m+M} \: v_0 \)
　∴　答　\(\displaystyle -\frac{(1+e)mM}{m+M}v_0 \)
　[ AはBから左向きの\(F\)で押される（図１）から、当然その力積は負である ]