1-31-3: 運動量保存則 ＜例題２＞（１次元衝突）

1-31-2の例題１の続き。計算力の付く問題です！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例題２　

問４　衝突前後のAとBの運動エネルギーの減少量を求めよ。　[ この問４は計算が少々面倒なので、先に答を見てから、あらためて自分でやり直すこともおすすめです ]

解答・解説

　衝突後のA、Bの速度(1-31-2問１の答）及び1-31-2の図１を再掲しておく。
　A: \(\displaystyle v=\frac{m-eM}{m+M}v_0 \)　、　B: \(\displaystyle V＝\frac{(1+e)m}{m+M}v_0\)

問４　運動エネルギーの減少量とは、衝突前の運動エネルギーから衝突後のそれを引いたもの。
　求める減少量（図１より）＝\(\displaystyle \frac{m}{2}v_0^2-\left( \frac{m}{2}v^2+\frac{M}{2}V^2 \right) \)
　　\(\displaystyle =\frac{m}{2}v_0^2-\left( \frac{m}{2} \left( \frac{m-eM}{m+M}v_0 \right)^2 + \frac{M}{2} \left( \frac{(1+e)m}{m+M}v_0 \right)^2 \right) \)
　＜ 第1,2,3項全てから\(\displaystyle \frac{m}{2}v_0^2 \)が括り出せる。さらに分母\((m+M)^2\)で通分して ＞
　　\(\displaystyle =\frac{\frac{m}{2}v_0^2}{(m+M)^2}[(m+M)^2-(m-eM)^2-(1+e)^2mM] \)　　　(☆)
　いま [　]の中身
　　\(=m^2+2mM+M^2-m^2+2emM-e^2M^2-mM-2emM-e^2mM \)
　＜ \(m^2\)と\(-m^2\)がキャンセル。\(2emM\)と\(-2emM\)もキャンセル。\(2mM\)と\(-mM\)合わせて\(mM\) ＞
　　\(=mM+M^2-e^2M^2-e^2mM=mM+M^2-e^2(mM+M^2) \)
　　\(=(1-e^2)(mM+M^2)=(1-e^2)M(m+M) \)
　これを(☆)の [　]の中に代入
　減少量\(\displaystyle =\frac{\frac{m}{2}v_0^2}{(m+M)^2} (1-e^2)M(m+M) \)
　よって　答　\(\displaystyle (1-e^2)\frac{m}{2}v_0^2 \frac{M}{m+M} \)

　これから分かることは、
　\(e=1\)　　　　弾性衝突では、減少量が0、つまり運動エネルギーは保存する。
　\(0≦e<1 \, \) 非弾性衝突では、減少量が>0、　　運動エネルギーは減少する。
　これは、今の例題のように衝突前Bが静止している場合だけでなく、運動している場合も一般的に成り立つことである（一般的な場合の証明は省略）。結局、非弾性衝突では、衝突時に発生する熱エネルギーなどの形で運動エネルギーが失われてしまう。したがって、非弾性衝突で力学的エネルギー保存則を用いることはできない。