1-23-1: 単振動のxとt、vとtの関係式

単振動の時刻tでのふるまいを扱いましょう！　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　話を２部構成で進めていこう。
　単振動は等速円運動の正射影であることを示す。その意味は、等速円運動している物体の$x$座標の動きを追うと、それが単振動と一致するということである。等速円運動している物体に（図１）$x$軸と垂直に(真上から)光を当ててやり、$x$軸上のスクリーンに写る物体の影の動きを追うと、影($x$座標)は右左へ行ったり来たりの往復運動 ―― 単振動 ―― をする、それをこれから導出する。
　図１に等速円運動する物体の速度$u$（接線方向）、加速度$\alpha$（中心方向）が示してある。1-19-1でやった通り、半径を$A$として
　$u=A\omega$　、　$\alpha=A\omega^2$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1) 　
　$t=0$での中心角を$\phi$とし、角速度(1sあたり回る角度)を$\omega$とすると時間$t$後には$\omega t$回っている。$\theta=\omega t+\phi$とおいた角が赤い２本の弧で、合計４ヶ所書かれている。

　さて、図１のように円の中心の座標を$x_c$に取ると　$x-x_c=A\sin \theta$　　(2)
　速度の$x$成分$v=u\cos \theta=A\omega \cos \theta$　[ (1)を用いた ]　　　　　　　　 (3)
　加速度の$x$成分$a=-\alpha\sin \theta=-A\omega^2 \sin \theta =-\omega^2 A\sin \theta$　[ 右向きを正にしているので$a<0$ ]　　
　ここで(2)を用いると　$a=-\omega^2 (x-x_c)$　　　　　　　　　　　　　　 (4)
　この(4)は等速円運動している物体の$x$座標の動き(影の動き)が満たしている関係式である。
　ところが、1-22-1でやった通り、単振動する物体の$x$座標の動きは
　　単振動の方程式　$a=-\omega^2 (x-x_c)$
を満たし、(4)と完全に一致している。よって、単振動は等速円運動の影の動きと一致することが言えた。
　図１より$\theta=\omega t+\phi$だから、結局
　(2)より 単振動の$x=A\sin (\omega t+\phi) +x_c$
　(3)より　　　　 $v=A\omega \cos (\omega t+\phi)$　　　となる。

　なお、$x$の式はしっかり頭の中に入れておくとして、$v$の式はちょっとした微分計算で出せる。というのも、1-01-1でやった通り、$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}$であるから、
　$x=A\sin \theta +x_c$ かつ $\theta=\omega t+\phi$ に注意して
　$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d\theta} \frac{d\theta}{dt}$　[ つまり合成関数の微分を用いる ]
　　$\displaystyle =\frac{d}{d\theta}(A\sin \theta +x_c) \frac{d}{dt}(\omega t+\phi )$
　　$=(A\cos \theta)\omega$　[ 定数$x_c$ 、$\phi$の微分は0 ]　$=A\omega \cos (\omega t+\phi)$　
　この計算は慣れれば頭の中で即座にできるようになるはず。すると、$v$の式は覚えなくてもよくなる。

　基本用語を押さえる
　図２は$x=A\sin \theta +x_c=A\sin (\omega t+\phi) +x_c$のグラフの一例で、$-1≦\sin≦1$により$-A+x_c ≦x≦A+x_c$であると縦軸に書かれている。また、左回りに等速円運動する物体に、左から光(横方向の黄色矢印)を当てたときに$x$軸上に写る影の動きの様子(縦方向の黄色矢印)も示してある。つまり、円運動上の〇、△、□の影がグラフ上の〇、△、□に対応していく。

　$x_c$は1-22-1の時点では、つり合いの位置という意味しかなかったが、グラフの縦軸から明らかなように振動範囲$-A+x_c ≦x≦A+x_c$の中点で、振動中心（あるいは単に中心）という。
　中心$x_c$から最高点(あるいは最低点)までの距離$A$を振幅という。
　$\sin$の中身$\theta$を位相という。
　　$\theta=\frac{\pi}{2}$ なら $x=A\sin \frac{\pi}{2} +x_c=A+x_c$　　最高点を通過中（図２の円およびグラフの△印を見るとよい。以下同様）
　　$\theta=-\frac{\pi}{2}$ なら $x=A\sin(-\frac{\pi}{2}) +x_c=-A+x_c$　　最低点を通過中
　　$\theta=0$ なら $x=x_c$　　中心を上向きに通過中
　　$\theta=\pi$ なら $x=x_c$　　中心を下向きに通過中
このように、位相は振動が今どのような状態にあるかを表している。
　特に$t=0$での$\theta=\omega t+\phi=\omega 0+\phi$つまり$\phi$を初期位相という。初期位相は振動がどのような状態から始まるかを表している。
　$\omega$（ギリシャ文字のオメガ。アルファベットのwではない。念のため）は円運動に対しては角速度というが、単振動に対しては角振動数という。$t$での$\theta=\omega t+\phi$ に対して、$t+1\text{s}$での$\theta’=\omega (t+1\text{s})+\phi =\omega t+\phi +\omega = \theta+\omega$ のように、$\theta’$は$\theta$よりも$\omega$増えている。つまり1sあたりに$\theta$が$\omega$増えているから、角振動数$\omega$とは1sあたりの位相$\theta$の増加分である。

　$\sin \theta$は$\sin$の中身$\theta$が$2\pi$増えると元の値に戻る。元に戻るまでの時間を周期$T$という（図２のグラフの横軸）。
　ということは、1sあたりの$\theta$の増加分$\omega$に、周期$T$をかけたものが、$2\pi$に等しい。
　$\omega ×T=2\pi$　　∴　 $\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}$
　なお、単振動は等速円運動の正射影だから、単振動の周期$T$が1-19-1の等速円運動の周期公式 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ と一致するのは当然である。