1-23-1: 単振動のxとt、vとtの関係式

単振動の時刻tでのふるまいを扱いましょう！　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　話を２部構成で進めていこう。
1⃣　単振動は等速円運動の正射影であることを示す。その意味は、等速円運動している物体の\(x\)座標の動きを追うと、それが単振動と一致するということである。等速円運動している物体に（図１）\(x\)軸と垂直に(真上から)光を当ててやり、\(x\)軸上のスクリーンに写る物体の影の動きを追うと、影(\(x\)座標)は右左へ行ったり来たりの往復運動 ―― 単振動 ―― をする、それをこれから導出する。
　図１に等速円運動する物体の速度\(u\)（接線方向）、加速度\(\alpha\)（中心方向）が示してある。1-19-1でやった通り、半径を\(A\)として
　\(u=A\omega\)　、　\(\alpha=A\omega^2 \)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1) 　
　\(t=0\)での中心角を\(\phi\)とし、角速度(1sあたり回る角度)を\(\omega\)とすると時間\(t\)後には\(\omega t\)回っている。\(\theta=\omega t+\phi \)とおいた角が赤い２本の弧で、合計４ヶ所書かれている。

　さて、図１のように円の中心の座標を\(x_c\)に取ると　\(x-x_c=A\sin \theta \)　　(2)
　速度の\(x\)成分\(v=u\cos \theta=A\omega \cos \theta \)　[ (1)を用いた ]　　　　　　　　 (3)
　加速度の\(x\)成分\(a=-\alpha\sin \theta=-A\omega^2 \sin \theta =-\omega^2 A\sin \theta\)　[ 右向きを正にしているので\(a<0\) ]　　
　ここで(2)を用いると　\(a=-\omega^2 (x-x_c) \)　　　　　　　　　　　　　　 (4)
　この(4)は等速円運動している物体の\(x\)座標の動き(影の動き)が満たしている関係式である。
　ところが、1-22-1でやった通り、単振動する物体の\(x\)座標の動きは
　　単振動の方程式　\(a=-\omega^2 (x-x_c) \)
を満たし、(4)と完全に一致している。よって、単振動は等速円運動の影の動きと一致することが言えた。
　図１より\(\theta=\omega t+\phi \)だから、結局
　(2)より 単振動の\(x=A\sin (\omega t+\phi) +x_c \)
　(3)より　　　　 \(v=A\omega \cos (\omega t+\phi) \)　　　となる。

　なお、\(x\)の式はしっかり頭の中に入れておくとして、\(v\)の式はちょっとした微分計算で出せる。というのも、1-01-1でやった通り、\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}\)であるから、
　\(x=A\sin \theta +x_c \) かつ \(\theta=\omega t+\phi \) に注意して
　\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d\theta} \frac{d\theta}{dt} \)　[ つまり合成関数の微分を用いる ]
　　\(\displaystyle =\frac{d}{d\theta}(A\sin \theta +x_c) \frac{d}{dt}(\omega t+\phi ) \)
　　\(=(A\cos \theta)\omega \)　[ 定数\(x_c \) 、\(\phi\)の微分は0 ]　\(=A\omega \cos (\omega t+\phi) \)　
　この計算は慣れれば頭の中で即座にできるようになるはず。すると、\(v\)の式は覚えなくてもよくなる。

2⃣　基本用語を押さえる
　図２は\(x=A\sin \theta +x_c=A\sin (\omega t+\phi) +x_c \)のグラフの一例で、\(-1≦\sin≦1\)により\(-A+x_c ≦x≦A+x_c\)であると縦軸に書かれている。また、左回りに等速円運動する物体に、左から光(横方向の黄色矢印)を当てたときに\(x\)軸上に写る影の動きの様子(縦方向の黄色矢印)も示してある。つまり、円運動上の〇、△、□の影がグラフ上の〇、△、□に対応していく。

　\(x_c \)は1-22-1の時点では、つり合いの位置という意味しかなかったが、グラフの縦軸から明らかなように振動範囲\(-A+x_c ≦x≦A+x_c\)の中点で、振動中心（あるいは単に中心）という。
　中心\(x_c \)から最高点(あるいは最低点)までの距離\(A\)を振幅という。
　\(\sin\)の中身\(\theta\)を位相という。
　　\(\theta=\frac{\pi}{2} \) なら \(x=A\sin \frac{\pi}{2} +x_c=A+x_c \)　　最高点を通過中（図２の円およびグラフの△印を見るとよい。以下同様）
　　\(\theta=-\frac{\pi}{2} \) なら \(x=A\sin(-\frac{\pi}{2}) +x_c=-A+x_c \)　　最低点を通過中
　　\(\theta=0\) なら \(x=x_c \)　　中心を上向きに通過中
　　\(\theta=\pi\) なら \(x=x_c \)　　中心を下向きに通過中
このように、位相は振動が今どのような状態にあるかを表している。
　特に\(t=0\)での\(\theta=\omega t+\phi=\omega 0+\phi\)つまり\(\phi \)を初期位相という。初期位相は振動がどのような状態から始まるかを表している。
　\(\omega\)（ギリシャ文字のオメガ。アルファベットのwではない。念のため）は円運動に対しては角速度というが、単振動に対しては角振動数という。\(t\)での\(\theta=\omega t+\phi\) に対して、\(t+1\text{s}\)での\(\theta’=\omega (t+1\text{s})+\phi =\omega t+\phi +\omega = \theta+\omega \) のように、\(\theta’\)は\(\theta\)よりも\(\omega\)増えている。つまり1sあたりに\(\theta\)が\(\omega\)増えているから、角振動数\(\omega\)とは1sあたりの位相\(\theta\)の増加分である。

　\(\sin \theta\)は\(\sin\)の中身\(\theta\)が\(2\pi\)増えると元の値に戻る。元に戻るまでの時間を周期\(T\)という（図２のグラフの横軸）。
　ということは、1sあたりの\(\theta\)の増加分\(\omega\)に、周期\(T\)をかけたものが、\(2\pi\)に等しい。
　\(\omega ×T=2\pi \)　　∴　 \(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega} \)
　なお、単振動は等速円運動の正射影だから、単振動の周期\(T\)が1-19-1の等速円運動の周期公式 \(T=\frac{2\pi}{\omega} \) と一致するのは当然である。