6-06-2: ボーアモデル #その2

ボーアモデルでよく出題される計算のコツを含めて解説していきます。　→　＜#その1＞は6-06-1、＜#その3＞は6-06-3へ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　入試では、(1)-(3)の立式が正確にできること、さらにこれらを連立して$r$、$E$を求める計算をしっかりやり切ることが、6-06-1、6-06-2までのボーアモデルに関する頻出テーマである。

・　軌道半径$r$：　(1)、(3)より$v$を消去する
　(3)より　$\displaystyle v=\frac{h}{2\pi rm}n$　　　　　　　　　　　　　 (3′)
　(1)に代入　$\displaystyle \frac{m}{r}\frac{h^2}{4\pi^2 r^2 m^2} n^2 =k\frac{e^2}{r^2}$
　両辺の分母の$r^2$を約分　$\displaystyle \frac{1}{r}\frac{h^2}{4\pi^2 m} n^2 =k e^2$
　さらに$r$を数列の一般項$r_n$のように表して、
　$\displaystyle r_n=\frac{h^2}{4\pi^2 ke^2 m} n^2$　$\propto n^2$　　$(n=1,2, \cdots)$　　(4)
　[ 念のためだが、$\propto$は「比例する」という意味の記号。なお、(4)を(3′)に代入すれば　$\displaystyle v_n=\frac{2\pi ke^2}{h} \frac{1}{n}$　が求まる ]

・　エネルギー$E$：　(2)を使う前に、(1)を用いて(2)を簡単にしておくのがコツ
　(1)×$\displaystyle \frac{r}{2}$　$\displaystyle \frac{m}{2}v^2 = \frac{1}{2}\frac {ke^2}{r}$
　$\displaystyle$(2)に代入　$\displaystyle E=\frac{1}{2}\frac{ke^2}{r}-\frac {ke^2}{r} =-\frac{1}{2}\frac{ke^2}{r}$
　$\displaystyle$これに(4)を代入　$\displaystyle E=-\frac{ke^2}{2} \frac{4\pi^2 ke^2 m}{h^2}\frac{1}{n^2}$
　$E$を一般項$E_n$のように表して、
　$\displaystyle E_n=-\frac{2\pi^2 k^2 e^4 m}{h^2} \frac{1}{n^2}$　　$(n=1,2, \cdots)$　　　　(5)

・　電子の軌道半径$r_n$、エネルギー$E_n$は、(4)(5)から分かる通り連続的にどんな値でも取り得るのではなく、限られたとびとびの値(離散的な値)しか取り得ない。これは古典的・巨視的な粒子には見られなかった現象である（図１）。
　この離散性(、不連続性、量子性とも言える）は、電子が波動性を持っているからこそ、すなわち波の数が整数に限定されたからこそ(式(3))生じている。
　とくに$\displaystyle r_1=\frac{h^2}{4\pi^2 ke^2 m} =0.53×10^{-10}$ｍを「ボーア半径」といい、水素原子の典型的な大きさに対応する。
　また、このタイミングでもう1回6-06-1の(☆)定常状態の仮説 を読んでおくとよい。

・　エネルギー準位$E_n$：とびとびのエネルギー値のこと
　(5)より　$\displaystyle |E_1|=\frac{2\pi^2 k^2 e^4 m}{h^2}$　　
　これを再び(5)に戻して　$\displaystyle E_n=-|E_1|\frac{1}{n^2}$　　　　　　 (5′)
と表しておくと、式が扱いやすい。　
　まず、エネルギー準位$E_1,E_2,\cdots$は負の値であるが、これには何の問題もない。エネルギーの値は基準の取り方しだいで正にも負にもなるからである（例えば重力による位置エネルギー$mg$×高さの基準を標高10mに取ったならば、高さ3mの所の位置エネルギーは$mg$×(-7m)と負の値になる）。
　いま$n → \infty$とすると(5′)より$E_n → 0$、すなわち$n → \infty$のときがエネルギーの基準である。
　一方このとき(4)より$r_n \rightarrow \infty$、すなわち電子は陽子から完全に離れ、水素原子はイオン状態になっている。ゆえにエネルギー0となるのはイオン状態である。電子のエネルギーが負であることは、電子がイオン状態から原子中に取り込まれると、エネルギー的により低くなる(安定になる)ことを意味する。
　また、(5′)より$\displaystyle |E_2|=\frac{1}{4}|E_1|$ , $\displaystyle |E_3|=\frac{1}{9}|E_1|$ , $\displaystyle |E_4|=\frac{1}{16}|E_1|$ , $\cdots$
絶対値とは、言うまでもなく原点からの距離のことであるから、図２が得られる。
　なお、$|E_1|=21.9×10^{-19}$J $=13.6$eV は水素原子の「イオン化エネルギー」に対応している。