10-03-4: 電位の公式の導出

点電荷のつくる電位の公式\(\phi=k\frac{Q}{r}\) を証明します！　　　　　　

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　電位\(\phi\)とは3-03-1の通り、1Cあたりの持つ位置エネルギーだから、位置エネルギーの定義(10-03-2)
　「ある位置から基準点まで保存力がすることのできる仕事」　　　　　　　　 (1)
から始めることにしよう。この定義は、重力による位置エネルギーなら「高さ\(h\)から高さ0の所(基準点)まで重力がすることのできる仕事(1-17-1)」(すなわち\(mgh\))である。この単元で導出したいのは点電荷\(Q\)(\(Q≷0\))のつくる電位(1Cあたりの持つ位置エネルギー)\(\phi\)の公式で、この場合、基準点を無限遠に取るのが慣習だから（理由は最後に述べる）、電位の定義は(1)にならって
　「点電荷\(Q\)の位置より距離\(r\)へだてた位置から、無限遠(基準点)まで、1Cあたりの電気力のすることのできる仕事」
となる。ところが、1Cあたりの電気力とは電場(3-02-1)に他ならないから、結局電位\(\phi\)とは、
　「\(Q\)より距離\(r\)へだてた位置から無限遠まで電場\(\vec{E}\)のすることのできる仕事」\(\:\) (2)
として求まる。この計算をするために、図１のように\(Q\)の位置を原点Oとする\(x\)軸を取り、任意の位置\(x\)に+1C及び電場の\(x\)成分\(E_x\)を書く。
　電場\(\vec{E}\)の向き(3-02-1)は、\(Q>0\)なら\(Q\)から+1Cへの斥力の向きで\(E_x>0\)(青い矢印で\(+x\)方向)、\(Q<0\)なら\(Q\)から+1Cへの引力の向きで\(E_x<0\)(緑の矢印で\(-x\)方向)（もちろん\(E_y=0\)）　 (☆)

　ここで3-02-1より　\(\displaystyle E_x=k\frac{Q}{x^2}\:\)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)
(3)で\(Q≷0\)なら\(E_x≷0\)（複合同順）なので、(☆)に述べたことと合っている。　
　さて、(3)の\(E_x\)(1Cあたりに働く力)は\(x^2\)に反比例で、一定ではない。ゆえに、仕事\(W=\)(力の移動方向成分)×(距離)(1-16-1)とすることはできない。そこで、力の移動方向成分\(F\)が変化していく場合の\(F\)のする仕事=\(F\)-\(x\)グラフの面積　の考え方(1-18-1)を用いて、
　\(E_x\)(1Cあたりに働く力)のする仕事=\(E_x\)-\(x\)グラフの面積　　　　　　　
と計算することにする。ということは、
　(2)の電位\(\phi\)=（\(Q\)より距離\(r\)へだてた位置から無限遠まで電場\(\vec{E}\)のする仕事）
　　　　　　 =（\(x=r\)から\(x=\infty\)まで\(E_x\)-\(x\)グラフの囲む面積）\(\;\:\)　　　　　(4)
　図２に\(E_x\)-\(x\)グラフを示した。(3)の通り\(x^2\)に反比例、青い曲線が\(Q>0\)で\(E_x>0\)のグラフ、緑の曲線が\(Q<0\)で\(E_x<0\)のグラフである。(4)の面積を、\(Q>0\)の場合について赤色で囲ってある。　[ \(F\)-\(x\)グラフや\(v\)-\(t\)グラフの単元の説明通り、赤く囲まれたグラフの面積を、横幅の微小な長方形のいくつもの連なりで置き換える階段グラフ(の一部)を示してある。斜線を施した長方形の面積は\(E_x\)(1Cあたりに働く力)×\(\Delta x\)だから、(1Cあたりの)微小仕事を表している。]　
　ところで、グラフの面積は定積分で表せる。(4)の定積分は具体的には、積分の中身(被積分関数)を縦軸の量\(E_x\)、積分変数を横軸の量\(x\)(\(dx\))、積分の下端・上端をそれぞれ\(x=r,\,\infty\)として、
　電位\(\displaystyle \phi=\int_{r}^{\infty}E_xdx\)　[ (3)を代入 ]　=\(\displaystyle \int_{r}^{\infty}k\frac{Q}{x^2}dx\,\)　　　　　　　　　　(5)

　(5)で\(Q<0\)のとき\(\phi<0\)であるが、このとき(1Cあたりの)力\(E_x\)は負の向き(\(E_x<0\))、移動の向き(\(x=r\)から\(x=\infty\))は正の向き、つまり力の向きと移動の向きが逆だから、負の(1Cあたりの)仕事(1-16-1)、すなわち\(\phi<0\)となり適している。
　(5)より　\(\displaystyle \phi=kQ\int_{r}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx=kQ\left[-\frac{1}{x}\right]_{r}^{\infty}=kQ\left(-\frac{1}{\infty}+\frac{1}{r}\right)\)　　(6)
　\(\displaystyle \frac{1}{\infty}→0\)なので　\(\displaystyle \phi=k\frac{Q}{r}\)　　　　　　　　　　　　　(＊)
　これが3-03-1で用いた点電荷のつくる電位\(\phi\)の公式である。

　ポイントすぐ下の初めの段落で「基準点を無限遠に取る」といった理由が、この時点でハッキリする。仮に無限遠\(x=\infty\)ではなく、どこか有限の位置\(x=r_0\)を基準に取ると、(5)の積分は
　\(\displaystyle \phi=\int_{r}^{r_0}k\frac{Q}{x^2}dx\)　となる。すると(6)の計算
　\(\displaystyle \phi=kQ\int_{r}^{r_0}\frac{1}{x^2}dx=kQ\left[-\frac{1}{x}\right]_{r}^{r_0}=kQ\left(-\frac{1}{r_0}+\frac{1}{r}\right)\)　となり、電位の公式がいかにも覚えづらい式\(\displaystyle \phi=kQ\left(-\frac{1}{r_0}+\frac{1}{r}\right)\)　となってしまう。そう、点電荷のつくる電位の基準点を無限遠に取る理由は、公式を覚えやすくする( (＊) )単なる便宜上なのである。