6-03-1: コンプトン効果

コンプトン効果は特に立式と計算が重要です。　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　コンプトンはX線を石墨に照射させ、石墨から飛び出してくる電子及びそれに衝突して散乱されるＸ線光子を調べた（図１）。　　
　電子のことももちろん解析したとは言え、主たる関心は散乱Ｘ線であった。　(☆)
　さっそく立式に取り掛かろう。弾性衝突では力学の1-19-3,1-19-2同様、以下の保存則が成り立つ(左辺が衝突前の量で図１の点線の囲み、右辺が衝突後の量で実線の囲み)。
　エネルギー保存則　　　$\displaystyle h\frac{c}{\lambda}=h\frac{c}{\lambda’}+\frac{m}{2}v^2$　　　　　(1)
　運動量保存則　$x$成分:　$\displaystyle \frac{h}{\lambda}=\frac{h}{\lambda’}\cos\theta +mv\cos\phi$　　(2)
　　　　　　　　$y$成分:　$\displaystyle 0=\frac{h}{\lambda’}\sin\theta -mv\sin\phi$　　　(3) 　

　入試では、(1)(2)(3)の保存則が正確に立てられること、さらに以下の計算をしっかりとやり切ることがコンプトン効果の2大テーマである。(☆)に述べたことから、電子にかかわる量$\phi,v$を消去して、散乱X線に関わる量$\theta$と$\lambda’$の関係を調べることにしよう。まず$\phi$を消去する。そのためには
　(2)より　$\displaystyle mv\cos\phi=h\left( \frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda’}\cos\theta \right)$　　　　　　　(4)
　(3)より　$\displaystyle mv\sin\phi=h\frac{1}{\lambda’}\sin\theta \;\:\,$　　　　　　　　　　 　(5)　
　(4)$^2+$(5)$^2$で$\phi$を消去する（$\cos^2\phi+\sin^2\phi =1$だから消去できる）。
　　$\displaystyle m^2v^2=h^2\left( \frac{1}{\lambda^2}-\frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta +\frac{1}{\lambda’^2}\cos^2\theta +\frac{1}{\lambda’^2}\sin^2\theta \right)$
　　　　　$\displaystyle =h^2\left( \frac{1}{\lambda^2}-\frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta +\frac{1}{\lambda’^2} \right)$　[ $\cos^2\theta+\sin^2\theta =1$を用いた ]
　両辺$2m$で割って　$\displaystyle \frac{m}{2}v^2=\frac{h^2}{2m}\left( \frac{1}{\lambda^2} +\frac{1}{\lambda’^2} -\frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta \right)$
　左辺に(1)の$\frac{m}{2}v^2$を代入すれば、今度は$v$が消去できる。
　　$\displaystyle hc\left( \frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda’} \right)=\frac{h^2}{2m} \left(\frac{1}{\lambda^2}+\frac{1}{\lambda’^2}-\frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta \right)$
　両辺$hc$で割って、さらに$\lambda \lambda’$倍すると
　　$\displaystyle \lambda’-\lambda=\frac{h}{2mc} \left( \frac{\lambda’}{\lambda}+\frac{\lambda}{\lambda’}-2\cos\theta \right)$
　ここでコンプトンの実験状況では$\lambda’$は$\lambda$より数パーセント大きい程度だから、$\displaystyle \frac{\lambda’}{\lambda}$は１より数％大きい量（たとえば1.03）、$\displaystyle \frac{\lambda}{\lambda’}$は１より数％小さい量（たとえば$\displaystyle \frac{1}{1.03}≒0.97$）あると近似すれば、$\displaystyle \frac{\lambda’}{\lambda}+\frac{\lambda}{\lambda’} ≒2$となる。よって
　$\displaystyle \lambda’-\lambda=\frac{h}{mc}(1-\cos\theta)$
が得られる。これを「コンプトン散乱の式」（1923年）といい、散乱角$\theta$の関数として、散乱X線の$\lambda’$と入射X線の$\lambda$の差を表したものである。コンプトンはこれにより、ノーベル賞を後に受賞した。