6-03-1: コンプトン効果

コンプトン効果は特に立式と計算が重要です。　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　コンプトンはX線を石墨に照射させ、石墨から飛び出してくる電子及びそれに衝突して散乱されるＸ線光子を調べた（図１）。　　
　電子のことももちろん解析したとは言え、主たる関心は散乱Ｘ線であった。　(☆)
　さっそく立式に取り掛かろう。弾性衝突では力学の1-19-3,1-19-2同様、以下の保存則が成り立つ(左辺が衝突前の量で図１の点線の囲み、右辺が衝突後の量で実線の囲み)。
　エネルギー保存則　　　\(\displaystyle h\frac{c}{\lambda}=h\frac{c}{\lambda’}+\frac{m}{2}v^2 \)　　　　　(1)
　運動量保存則　\(x\)成分:　\(\displaystyle \frac{h}{\lambda}=\frac{h}{\lambda’}\cos\theta +mv\cos\phi \)　　(2)
　　　　　　　　\(y\)成分:　\(\displaystyle 0=\frac{h}{\lambda’}\sin\theta -mv\sin\phi \)　　　(3) 　

　入試では、(1)(2)(3)の保存則が正確に立てられること、さらに以下の計算をしっかりとやり切ることがコンプトン効果の2大テーマである。(☆)に述べたことから、電子にかかわる量\(\phi,v\)を消去して、散乱X線に関わる量\(\theta\)と\(\lambda’\)の関係を調べることにしよう。まず\(\phi\)を消去する。そのためには
　(2)より　\(\displaystyle mv\cos\phi=h\left( \frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda’}\cos\theta \right) \)　　　　　　　(4)
　(3)より　\(\displaystyle mv\sin\phi=h\frac{1}{\lambda’}\sin\theta \;\:\, \)　　　　　　　　　　 　(5)　
　(4)\(^2+\)(5)\(^2\)で\(\phi\)を消去する（\(\cos^2\phi+\sin^2\phi =1 \)だから消去できる）。
　　\(\displaystyle m^2v^2=h^2\left( \frac{1}{\lambda^2}-\frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta +\frac{1}{\lambda’^2}\cos^2\theta +\frac{1}{\lambda’^2}\sin^2\theta \right) \)
　　　　　\(\displaystyle =h^2\left( \frac{1}{\lambda^2}-\frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta +\frac{1}{\lambda’^2} \right) \)　[ \(\cos^2\theta+\sin^2\theta =1 \)を用いた ]
　両辺\(2m\)で割って　\(\displaystyle \frac{m}{2}v^2=\frac{h^2}{2m}\left( \frac{1}{\lambda^2} +\frac{1}{\lambda’^2} -\frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta \right) \)
　左辺に(1)の\(\frac{m}{2}v^2 \)を代入すれば、今度は\(v\)が消去できる。
　　\(\displaystyle hc\left( \frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda’} \right)=\frac{h^2}{2m} \left(\frac{1}{\lambda^2}+\frac{1}{\lambda’^2}-\frac{2}{\lambda\lambda’}\cos\theta \right) \)
　両辺\(hc\)で割って、さらに\(\lambda \lambda’ \)倍すると
　　\(\displaystyle \lambda’-\lambda=\frac{h}{2mc} \left( \frac{\lambda’}{\lambda}+\frac{\lambda}{\lambda’}-2\cos\theta \right) \)
　ここでコンプトンの実験状況では\(\lambda’ \)は\(\lambda \)より数パーセント大きい程度だから、\(\displaystyle \frac{\lambda’}{\lambda} \)は１より数％大きい量（たとえば1.03）、\(\displaystyle \frac{\lambda}{\lambda’} \)は１より数％小さい量（たとえば\(\displaystyle \frac{1}{1.03}≒0.97\)）あると近似すれば、\(\displaystyle \frac{\lambda’}{\lambda}+\frac{\lambda}{\lambda’} ≒2 \)となる。よって
　\(\displaystyle \lambda’-\lambda=\frac{h}{mc}(1-\cos\theta) \)
が得られる。これを「コンプトン散乱の式」（1923年）といい、散乱角\(\theta\)の関数として、散乱X線の\(\lambda’\)と入射X線の\(\lambda\)の差を表したものである。コンプトンはこれにより、ノーベル賞を後に受賞した。