2-21-1: ２スリットの干渉（ヤングの干渉実験）

ここで2-09-1で扱った干渉を、光波に応用してみましょう！　→　＜例題＞は2-21-2へ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　まず前提として、目に見える光（可視光）の波長\(\lambda\)は10\(^{-7} \)m程度とひじょうに短いが、今まで同様に波として扱える。光に限らず全ての波は、すきまや障害物を通過後、直進するだけでなく様々な方向に広がって進む（図２）。これを回折という。波動独特の性質だと思えばよい（回折をホイヘンスの原理に基づいて理解することもできる）。

　ヤングの干渉実験（ヤングは人名）を３次元的に見てみよう（図３）。光をスリット（細いすきま）S₀に通して回折させ、スリットS₁、S₂に到達させると、等距離S₀S₁=S₀S₂であるため、S₁に光が山で届くときにはS₂にも山で届く。つまりS₁、S₂は「同位相の波源」と見なせる。S₁、S₂で光は再び回折し、スクリーン上で干渉する（強め合ったり弱め合ったりする）。光は強め合うと明るく、弱め合うと暗く見える。

　同位相の波源の場合、強め合いの条件は図３で
　　経路差S₂P\(-\)S₁P=\(m\lambda \)（\(m=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \)；\(\lambda \)は光の波長）　　(1)
この条件を満たす点Pには明線が写る。弱め合いは
　　S₂P\(-\)S₁P＝\( (m+\frac{1}{2} )\lambda \)
これを満たす点Pには暗線が写る。結論から言うと、スクリーン上には明線と暗線が交互に等間隔で並んだ干渉縞が生じる（図６）（図１、図３、図６の\(x\)軸は全て対応している）。ヤングの干渉実験は、よく「２スリットの干渉」とも呼ばれる。
　経路差を求めるために、図３を天井から見た図４のような作図をする。S₂P上に点QをS₁P=QPとなるように取れば、経路差S₂P\(-\)S₁PはS₂Qに等しい。ところがヤングの実験では、S₁S₂を通るスリット面からスクリーンまでの距離\(l\)が1ｍ規模なのに対し、スリットS₁とS₂の間隔\(d\)は1mm規模、つまり\(l\)は\(d\)に比べて1000倍も遠い。すると二等辺三角形S₁PQの頂角はほぼ0°、両底角\(\alpha\)はほぼ90°となり、S₁PとS₂Pをほぼ平行と見なして、図１の説明文中にあるような平行光線近似の作図をしてよくなる。S₁、S₂付近を拡大すれば図５のようになり、
　\(\displaystyle \)\(\theta\)+●=\(\angle\)S₁MN=90°　　∴　●=90°\(-\theta\)
　直角三角形MS₁Rで \(\angle\)MS₁R+●=90°　これにすぐ上の●を代入
　\(\angle\)MS₁R+90°\(-\theta\)=90°　　ゆえに \(\angle\)MS₁R=\(\theta\)であることが分かる。

　図１に戻ると、 経路差=☆印の距離\(=d\sin\theta\)
　ここでヤングの実験での角\(\theta\)は十分小さい（光の回折に関わる理由があり、ここでは説明しない）。十分小さい角度\(\theta\)について\(\sin\theta ≒\tan\theta \)（なぜなら\(\theta\)が十分小さいと\(\cos\theta \)≒1だから\(\tan\theta =\frac{\sin\theta}{\cos\theta} ≒\sin\theta \)）であることを用いると、
　経路差＝\(\displaystyle d\sin\theta ≒ d\tan\theta =d\frac{x}{l} \)　
　強め合いの条件は(1)より、経路差\(\displaystyle d\frac{x}{l} =m\lambda \)
　これを\(x\)について解くと、明線の位置\(\displaystyle x=m\frac{l\lambda}{d} \)と求まるが、通常\(x\)に添え字\(m\)を付けて\(x_m\)と表し、 \(\displaystyle x_{3}=3\frac{l\lambda}{d},\: x_{-2}=-2\frac{l\lambda}{d} \) （数列の一般項）のように扱う。
　ゆえに明線の位置は　\(\displaystyle x_m=m\frac{l\lambda}{d}\)
　（\(\displaystyle x_0=0, \, x_{\pm 1}=\pm\frac{l\lambda}{d},\, x_{\pm 2}=\pm2\frac{l\lambda}{d},\, \cdots \)）　(複号同順) 　
　これは数列で言えば等差数列だから、図６のような等間隔の干渉縞が得られることになるのだ。
　なお、\(x_0, x_{\pm 1}, x_{\pm 2}, \cdots \)を順に0次,\(\pm 1\)次,\(\pm 2\)次,\(\cdots \)の明線と通常呼ぶ。