2-07-3: 定常波の波の式
定常波の式は入試の頻出問題です！ → 関連事項は2-07-1へ、＜続き＞は2-07-4へ
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2-07-1の通り、定常波とは形 （振幅・波長）の等しい２つの波が速度\(+V,-V\)で重なり合うときの合成波。この単元ではこれを波の式を用いて調べていく。
まず\(\pm x\)方向に進む波の式を\(y_{\pm}(x,t) \)とする（複合同順とする、以下同様）。2-03-2の通り
\(\displaystyle y_{\pm}(x,t) =A\sin2\pi \left( \frac{t}{T} \mp \frac{x}{\lambda} \right) \; \) (1)
とおく。ただし、簡単のため\(\phi=0\)とした。波の「式」とは言うものの、それが表しているものは波の「高さ」\(y_{\pm}\)である。一方、定常波の(波の)式を\(Y(x,t)\)とする。定常波とは(\(+x\))方向に進む波と(\(-x\))方向に進む波の合成波だから、2-05-1の重ね合わせの原理により、
定常波の式(高さ)\(Y(x,t)=(+x)\)方向に進む波の式(高さ)\(y_+(x,t) \)
\(+\) \( (-x)\)方向に進む波の式(高さ)\(y_-(x,t) \)
[ (1)を代入 ]
\(\displaystyle =A \left[ \sin2\pi \left( \frac{t}{T} -\frac{x}{\lambda} \right) +\sin2\pi \left( \frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda} \right) \right] \)
\(\sin\)の中身を \(\displaystyle \alpha=2\pi \left( \frac{t}{T} -\frac{x}{\lambda} \right) \)、\(\displaystyle \beta=2\pi \left( \frac{t}{T} +\frac{x}{\lambda} \right) \) (2)
とおけば、
\(\displaystyle Y(x,t)=A(\sin\alpha+\sin\beta) \) (3)
ここで、三角関数の和を積に直す公式
\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2} \) (4)
を用いる。(2)より
\(\displaystyle \frac{\alpha+\beta}{2}=2\pi \left( \frac{t}{T}+\frac{t}{T} \right)/2 =2\pi \frac{t}{T} \) 及び
\(\displaystyle \frac{\alpha-\beta}{2}=2\pi \left( -\frac{x}{\lambda}-\frac{x}{\lambda} \right)/2=-2\pi \frac{x}{\lambda} \) であるから、(4)は
\(\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left( 2\pi \frac{t}{T} \right) \cos\left( -2\pi \frac{x}{\lambda} \right) \)
[ \(\cos(-\theta)=\cos\theta \)より ] \(\displaystyle =2\sin\left( 2\pi \frac{t}{T} \right) \cos\left( 2\pi \frac{x}{\lambda} \right) \)
これを(3)に代入し、さらにこれからの説明のために\(\sin\)と\(\cos\)の順序を逆にしておくと
定常波の式 \(\displaystyle Y(x,t)=2A\cos\left(2\pi \frac{x}{\lambda} \right)×\sin\left( 2\pi \frac{t}{T} \right) \) (5)
ここまでの計算が難しいと感じる人もいるかもしれないが、実は入試では頻出である。何度か計算練習を繰り返しておこう。
(5)の式の物理的意味については、次の単元2-07-4で扱うことにしよう。