2-16-2: 屈折の法則 ＜例題＞
屈折の法則の例題を一挙に2題やりましょう！
※ 2-16-1ポイント(I)(II)中の式を載せておく。
\(\displaystyle \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=n_{12} \:\, \) (1)
\(\displaystyle c’=\frac{c}{n} \) 、\(\displaystyle \lambda ' =\frac{\lambda}{n} \) (2)
\(\displaystyle n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2 \) (3)
例題１
まっすぐな細長い棒を水平にし、一定の振動数で上下させると、水面上に直線状の波面ができた。ここで、図１のように、一様な厚さのガラス板を水槽の底に沈めることにより、水槽の一部の水深を浅くした。水深の深い側の波面とガラス板の縁RSとの角度は45°で、水深の浅い側の波面とRSとの角度は30°であった。水深の浅い側での波の速さは、深い側での波の速さの何倍か。正しいものを、下の①～⑤のうちから一つ選べ。
① \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \) ② \(\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}} \) ③ 1 ④ \(\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}} \) ⑤ \(\sqrt{2} \)
解答・解説
2-09-1でやった通り、波面と波の進行方向は垂直（図２）。また2-16-1ポイント(I)で強調したように、屈折の法則では波の進行方向の角度を法線から測るから、(1)式は \(\displaystyle \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2} \) となる。
求めるのは浅い側の速さ\(v_2\)が深い側の速さ\(v_1\)の何倍だから、
\(\displaystyle \frac{v_2}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}=\frac{\sin 30°}{\sin 45°}=\frac{\frac{1}{2} }{\frac{1}{\sqrt{2}} }=\frac{\sqrt{2} }{2}=\frac{1}{\sqrt{2} } \)
答 ①
例題２
図３のように、水平に置かれた透明な板（絶対屈折率1.9）の上に水（絶対屈折率1.3）の層がある。この透明な板の下側から、入射角\(i\)でレーザー光源から出た光をあてた。ただし、空気の絶対屈折率は1.0とし、各境界面での反射は考えない。
問１ 光の振動数が4.5×10\(^{14}\)Hzのとき、透明な板の中におけるこの光の波長はおよそ何mか。最も適当なものを、次の①～⑥のうちから一つ選べ。ただし、空気中を進む光の速さを、3.0×10\(^8\)m/sとする。
① 2.9×10\(^{6}\) ② 1.5×10\(^{6}\) ③ 7.9×10\(^{5}\) ④ 1.3×10\(^{-6}\)
⑤ 6.7×10\(^{-7}\) ⑥ 3.5×10\(^{-7}\)
問２ 図３における入射角\(i\)を45°とする。このとき透明な板から水中へ光が進むときの屈折角\(\theta \)に対する\(\sin\theta \)の値として最も適当なものを、次の①～⑥のうちから一つ選べ。ただし、\(\sqrt{2} \)は1.4とする。
① 0.37 ② 0.48 ③ 0.55 ④ 0.65 ⑤ 0.71 ⑥ 0.92
解答・解説
問１ 真空中の波長を\(\lambda \)、空気、透明な板中の波長をそれぞれ\(\lambda_1, \lambda_2\)とし、屈折率をそれぞれ\(n_1\)=1.0, \(n_2\)=1.9と表すと、(2)式より
\(\displaystyle \lambda_1=\frac{\lambda}{n_1}=\frac{\lambda}{1.0}=\lambda \) (4)
\(\displaystyle \lambda_2=\frac{\lambda}{n_2}=\frac{\lambda}{1.9} \, \) (5)
(4)は、問題文に「空気の絶対屈折率は1.0」とあったら、空気は真空と見なせるという意味だ（2-16-1ポイント(II)の通り、真空の屈折率は1）。すると(5)より、空気(真空)中の速さ、振動数をそれぞれ\(c,f\)として、
\(\displaystyle \lambda_2=\frac{1}{1.9} \frac{c}{f}=\frac{1}{1.9} \frac{3.0×10^8 \, \text{m/s} } {4.5×10^{14}\, \text{Hz} }≒3.5×10^{-7} \text{m} \)
答 ⑥
問２ (3)式より屈折の法則は [ 図４で同じ番号の媒質の\(n\)と\(\theta \)をペアに組みながら式を書く ]
\(n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2 \) 、\(n_2\sin\theta_2 =n_3\sin\theta_3 \)
∴ \(n_1\sin\theta_1=n_3\sin\theta_3 \)
つまり \(1.0×\sin 45°=1.3×\sin\theta \)
よって \(\displaystyle \sin\theta =\frac{1}{\sqrt{2} }÷1.3=\frac{\sqrt{2} }{2×1.3} =\frac{1.4}{2.6}≒0.54 \)
答 ③
