2-11-2: 弦の固有振動 ＜例題＞

さっそく固有振動の例題を解いてみましょう！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例題　

　図のように、端を台に固定したピアノ線の弦を間隔が18cmあいたコマ１、コマ２で支え、滑車を通して他端におもりをつり下げた。1個あたり50\(\text{g} \)のおもりの数を変えながら、ピアノ線の中央をはじいて上下に振動させたところ、おもりの数が1個の場合に、弦の基本振動数は110Hzだった。

問１　おもりの数が1個の場合に、基本振動数を330Hzにするためにはコマ１とコマ２の間隔を何cmにすればよいか。最も適当な数値を、次の①～⑥のうちから一つ選べ。
①　6　②　9　③　24　④　36　⑤　45　⑥　54

問２　コマ１、コマ２の間隔を18cmにしてピアノ線を振動させた。442Hzで振動するおんさをもってきたところ、毎秒２回のうなりが聞こえた。このときのおもりの数はいくつか。最も適当な数値を、次の①～⑥のうちから一つ選べ。ただし、弦は2倍振動しているものとする。
①　2　②　4　③　8　④　16　⑤　32　⑥　64 

解答・解説

　最初は、間隔\(l\)=18cm、基本振動数\(f\)=110Hz。
　　　　[ 固有振動は、波の基本量\(V,\lambda ,f \)を押さえよう ]
　おもり１個の質量を\(m\)として　\(\displaystyle V=\sqrt{\frac{S}{\rho} } =\sqrt{\frac{mg}{\rho} } \)　(下図)
　基本振動は波の数\(\frac{1}{2} \) だから　\(\displaystyle \lambda =\frac{l}{波の数} =\frac{l} {\frac{1}{2} } =2l \)
　\(\displaystyle f=\frac{V}{\lambda} =\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{mg}{\rho} }=110\text{Hz} \)　　　　(1)

問１　求める間隔を\(l’\)とすると　[ \(V’,\lambda ', f’ \)を押さえる ]
　\(\displaystyle V’＝\sqrt{\frac{mg}{\rho}} \)　、　\(\displaystyle \lambda ' ＝\frac{l’}{\frac{1}{2} } =2l’ \)　、
　\(\displaystyle f’=\frac{V’}{\lambda '} =\frac{1}{2l’} \sqrt{\frac{mg}{\rho}} =330\text{Hz} \)　　　(2)
　(1)÷(2)　 \(\displaystyle \frac{f}{f’}=\frac{1}{l} ÷\frac{1}{l’} =\frac{1}{3} \)　　
　　∴　\(\displaystyle \frac{1}{l} ×l’=\frac{1}{3} \)　　
　　∴　\(\displaystyle l’=\frac{1}{3} l=6\)cm　　　　答　①

問２　このときのピアノ線の振動数を\(f’’\)とする。2-08-1でやった通り、1sあたりのうなりの回数=２つの音の振動数の差、つまり2=\(|f’’-442|\)。ゆえに\(f’’\)=440または444Hzとなるが、110の整数倍の\(f’’\)=440Hzと予想できる。　[ \(V’’,\lambda '’, f’’ \)を押さえる ]
　おもりの数を\(n\)として　\(\displaystyle V’’=\sqrt{\frac{S’’}{\rho} } =\sqrt{\frac{nmg}{\rho} } \)
　2倍振動は波の数\(\frac{1}{2} ×2\)だから　\(\displaystyle \lambda '’ =\frac{l} {\frac{1}{2} ×2 } =l \)
　\(\displaystyle f’’=\frac{V’’}{\lambda '’} =\frac{1}{l} \sqrt{\frac{nmg}{\rho} } =440\text{Hz} \)　　　(3)
　(3)÷(1)　\(\displaystyle \frac{f’’}{f}=\sqrt{n} ÷\frac{1}{2} =4\)　　∴　\(n=4\)　　　　答　②