2-11-2: 弦の固有振動 <例題>
さっそく固有振動の例題を解いてみましょう!
例題
図のように、端を台に固定したピアノ線の弦を間隔が18cmあいたコマ1、コマ2で支え、滑車を通して他端におもりをつり下げた。1個あたり50\(\text{g} \)のおもりの数を変えながら、ピアノ線の中央をはじいて上下に振動させたところ、おもりの数が1個の場合に、弦の基本振動数は110Hzだった。

問1 おもりの数が1個の場合に、基本振動数を330Hzにするためにはコマ1とコマ2の間隔を何cmにすればよいか。最も適当な数値を、次の①~⑥のうちから一つ選べ。
① 6 ② 9 ③ 24 ④ 36 ⑤ 45 ⑥ 54
問2 コマ1、コマ2の間隔を18cmにしてピアノ線を振動させた。442Hzで振動するおんさをもってきたところ、毎秒2回のうなりが聞こえた。このときのおもりの数はいくつか。最も適当な数値を、次の①~⑥のうちから一つ選べ。ただし、弦は2倍振動しているものとする。
① 2 ② 4 ③ 8 ④ 16 ⑤ 32 ⑥ 64
解答・解説
最初は、間隔\(l\)=18cm、基本振動数\(f\)=110Hz。
[ 固有振動は、波の基本量\(V,\lambda ,f \)を押さえよう ]
おもり1個の質量を\(m\)として \(\displaystyle V=\sqrt{\frac{S}{\rho} } =\sqrt{\frac{mg}{\rho} } \) (下図)
基本振動は波の数\(\frac{1}{2} \) だから \(\displaystyle \lambda =\frac{l}{波の数} =\frac{l} {\frac{1}{2} } =2l \)
\(\displaystyle f=\frac{V}{\lambda} =\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{mg}{\rho} }=110\text{Hz} \) (1)

問1 求める間隔を\(l’\)とすると [ \(V’,\lambda ', f’ \)を押さえる ]
\(\displaystyle V’=\sqrt{\frac{mg}{\rho}} \) 、 \(\displaystyle \lambda ' =\frac{l’}{\frac{1}{2} } =2l’ \) 、
\(\displaystyle f’=\frac{V’}{\lambda '} =\frac{1}{2l’} \sqrt{\frac{mg}{\rho}} =330\text{Hz} \) (2)
(1)÷(2) \(\displaystyle \frac{f}{f’}=\frac{1}{l} ÷\frac{1}{l’} =\frac{1}{3} \)
∴ \(\displaystyle \frac{1}{l} ×l’=\frac{1}{3} \)
∴ \(\displaystyle l’=\frac{1}{3} l=6\)cm 答 ①
問2 このときのピアノ線の振動数を\(f’’\)とする。2-08-1でやった通り、1sあたりのうなりの回数=2つの音の振動数の差、つまり2=\(|f’’-442|\)。ゆえに\(f’’\)=440または444Hzとなるが、110の整数倍の\(f’’\)=440Hzと予想できる。 [ \(V’’,\lambda '’, f’’ \)を押さえる ]
おもりの数を\(n\)として \(\displaystyle V’’=\sqrt{\frac{S’’}{\rho} } =\sqrt{\frac{nmg}{\rho} } \)
2倍振動は波の数\(\frac{1}{2} ×2\)だから \(\displaystyle \lambda '’ =\frac{l} {\frac{1}{2} ×2 } =l \)
\(\displaystyle f’’=\frac{V’’}{\lambda '’} =\frac{1}{l} \sqrt{\frac{nmg}{\rho} } =440\text{Hz} \) (3)
(3)÷(1) \(\displaystyle \frac{f’’}{f}=\sqrt{n} ÷\frac{1}{2} =4\) ∴ \(n=4\) 答 ②