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10-05-1: 単振動のxとtの関係式

数学的な詳細に興味がある人のためのトピックです。                          

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 1-22-1の単振動の方程式 \(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2(x-x_c) \) ただし \(\displaystyle \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \)   (1)
を直接解いて(式変形して)、 \(x=A\sin(\omega t+\phi) +x_c \) となることを示そう。

・ (1)を\(m\)倍して \(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=-k(x-x_c) \) と書く。これを、
  \(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}v=\frac{dv}{dt} \) に注意して
  \(\displaystyle m\frac{dv}{dt}+k(x-x_c)=0 \) と書きかえて両辺\(v\)倍する。
  \(\displaystyle mv\frac{dv}{dt}+k(x-x_c)v=0 \)                    (2)                  
  ところが \(\displaystyle \frac{d}{dt} \left(\frac{m}{2}v^2 \right)=\frac{d(\frac{m}{2}v^2)}{dv}\frac{dv}{dt}=mv\frac{dv}{dt}= \) (2)の第1項
   \(\displaystyle \frac{d}{dt} \left(\frac{k}{2}(x-x_c)^2 \right)=\frac{d(\frac{k}{2}(x-x_c)^2)}{dx}\frac{dx}{dt}=k(x-x_c)v= \) (2)の第2項
 ゆえに(2)は \(\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \frac{m}{2}v^2 +\frac{k}{2}(x-x_c)^2 \right)=0 \)
 微分して0になるものは定数だから \(\displaystyle \frac{m}{2}v^2 +\frac{k}{2}(x-x_c)^2=\)定数\(=E \, \)  (3)  
と書く [ これはエネルギー保存の式に他ならない ]

・ (3)より \(\displaystyle v^2=\frac{2E}{m}-\frac{k}{m}(x-x_c)^2=\frac{k}{m} \left( \frac{2E}{k}-(x-x_c)^2 \right) \)
  \(\displaystyle \sqrt{\frac{k}{m} }=\omega \)((1)より) 、\(\displaystyle \sqrt{\frac{2E}{k} }=B \)(>0)と書くと、
   \(v^2=\omega^2(B^2-(x-x_c)^2) \)
 ∴ \(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\pm \omega \sqrt{B^2-(x-x_c)^2 }\)
 \(\displaystyle\)∴ \(\displaystyle \frac{\frac{dx}{dt}}{\sqrt{B^2-(x-x_c)^2} } =\pm \omega \)  \(\displaystyle\)∴ \(\displaystyle \int{\frac{\frac{dx}{dt} dt}{\sqrt{B^2-(x-x_c)^2} } }=\pm \omega \int{dt}\)
 左辺を置換積分して \(\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{B^2-(x-x_c)^2} } }=\pm \omega \int{dt} \;\: \)       (4)
 ここで \(x-x_c=B\sin\theta \)と変換してみる。                (5)
 \(dx=B\cos\theta d\theta \) 、及び(4)中の
 \(\sqrt{B^2-(x-x_c)^2}=\sqrt{B^2(1-\sin^2\theta)} =B|\cos\theta| \) より
 (4)の左辺\(\displaystyle =\int{\frac{B\cos\theta}{B|\cos\theta|} d\theta}=\int{(\pm 1)d\theta} =\pm \theta +C_1 \)(\(C_1\)は積分定数)
 また(4)の右辺\(=\pm \omega t+C_2\)(\(C_2\)は積分定数)であるから、(4)は
 \(\pm \theta +C_1=\pm \omega t+C_2\)(複合同順ではない)
 ∴ \(\theta =\pm \omega t \pm(C_2-C_1) \)(複合同順ではない)
 \(\pm(C_2-C_1)=C \)と書き直せば、(5)より
 \(x-x_c=B\sin(\pm \omega t+C)=\pm B\sin(\omega t \pm C) \)(複合同順)
 \(\pm B=A \) 、\(\pm C=\phi \)と書き直せば、  \(x=A\sin(\omega t+\phi) +x_c \) (証明終り)

Posted by AKJ