10-05-1: 単振動のxとtの関係式

数学的な詳細に興味がある人のためのトピックです。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　1-22-1の単振動の方程式 \(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^2(x-x_c) \)　ただし \(\displaystyle \omega^2 =\frac{k}{m} \) 　　(1)
を直接解いて（式変形して）、 \(x＝A\sin(\omega t+\phi) +x_c \)　となることを示そう。

・　(1)を\(m\)倍して \(\displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=-k(x-x_c) \) と書く。これを、
　　\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}v=\frac{dv}{dt} \) に注意して
　　\(\displaystyle m\frac{dv}{dt}+k(x-x_c)=0 \) と書きかえて両辺\(v\)倍する。
　　\(\displaystyle mv\frac{dv}{dt}+k(x-x_c)v=0 \)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)　　　　　　　　　　　　 　　　　 
　　ところが　\(\displaystyle \frac{d}{dt} \left(\frac{m}{2}v^2 \right)＝\frac{d(\frac{m}{2}v^2)}{dv}\frac{dv}{dt}＝mv\frac{dv}{dt}= \) (2)の第１項
　　　\(\displaystyle \frac{d}{dt} \left(\frac{k}{2}(x-x_c)^2 \right)＝\frac{d(\frac{k}{2}(x-x_c)^2)}{dx}\frac{dx}{dt}＝k(x-x_c)v= \) (2)の第２項
　ゆえに(2)は　\(\displaystyle \frac{d}{dt} \left( \frac{m}{2}v^2 +\frac{k}{2}(x-x_c)^2 \right)＝0 \)
　微分して0になるものは定数だから　\(\displaystyle \frac{m}{2}v^2 +\frac{k}{2}(x-x_c)^2=\)定数\(=E \, \)　 (3) 　
と書く　[ これはエネルギー保存の式に他ならない ］

・　(3)より　\(\displaystyle v^2=\frac{2E}{m}-\frac{k}{m}(x-x_c)^2=\frac{k}{m} \left( \frac{2E}{k}-(x-x_c)^2 \right) \)
　　\(\displaystyle \sqrt{\frac{k}{m} }=\omega \) 、\(\displaystyle \sqrt{\frac{2E}{k} }=B \)（>0）と書くと、\(v^2=\omega^2(B^2-(x-x_c)^2) \)
　∴　\(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\pm \omega \sqrt{B^2-(x-x_c)^2 }\)
　\(\displaystyle\)∴　\(\displaystyle \frac{\frac{dx}{dt}}{\sqrt{B^2-(x-x_c)^2} } =\pm \omega \)　　\(\displaystyle\)∴　\(\displaystyle \int{\frac{\frac{dx}{dt} dt}{\sqrt{B^2-(x-x_c)^2} } }=\pm \omega \int{dt}\)
　左辺を置換積分して　\(\displaystyle \int{\frac{dx}{\sqrt{B^2-(x-x_c)^2} } }=\pm \omega \int{dt} \;\: \)　　　　　 　(4)
　ここで \(x-x_c=B\sin\theta \)と変換してみる。　　　　　　　　　　　　 　　 (5)
　\(dx=B\cos\theta d\theta \) 、及び(4)中の
　\(\sqrt{B^2-(x-x_c)^2}=\sqrt{B^2(1-\sin^2\theta)} =B|\cos\theta| \) より
　(4)の左辺\(\displaystyle =\int{\frac{B\cos\theta}{B|\cos\theta|} d\theta}=\int{(\pm 1)d\theta} =\pm \theta +C_1 \)（\(C_1\)は積分定数）
　また(4)の右辺\(=\pm \omega t+C_2\)（\(C_2\)は積分定数）であるから、(4)は
　\(\pm \theta +C_1=\pm \omega t+C_2\)（複合同順ではない）
　∴　\(\theta =\pm \omega t \pm(C_2-C_1) \)（複合同順ではない）
　\(\pm(C_2-C_1)=C \)と書き直せば、(5)より
　\(x-x_c=B\sin(\pm \omega t+C)=\pm B\sin(\omega t \pm C) \)（複合同順）
　\(\pm B=A \) 、\(\pm C=\phi \)と書き直せば、　 \(x＝A\sin(\omega t+\phi) +x_c \)　（証明終り）