新着記事

新着記事

1-23-2: 単振り子の周期

単振り子の周期公式は証明自体が出題されます              

 ページ最上部の(一部スマホでは右上または下側の \(\equiv\) 印「メニュー」をまずクリックしてから)各分野のタイトルをクリックすると、 目次 が見れます。また、スマホは画面を横長にして見ることをおすすめします。

ポイント             
・ 単振り子の糸の長さを\(l\)、重力加速度を\(g\)として
  単振り子の周期\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \)

 単振動の例としてさっそく単振り子を扱おう。図1はおもりをつないだ糸が鉛直方向から角度\(\theta\)傾いている状態。(いろいろな記号の書き込みはさておき)図の支点を中心に、おもりを円弧にそって左右に往復運動させるのを振り子運動というが、特にその振れ幅が糸の長さ\(l\)に比べて微小であるときは単振り子という。単振り子の周期の求め方は何通りかある。ここでは代表的な1通りの方法だけを示す。
 図1の\(\theta\)は小さくは図示していないが、振れ幅が微小であるときは、実際には図2のように例えば\(\theta \)≒3° ≒0.0524radとなる。ここで微小角\(\theta\)について成り立つ近似式
 \(|\theta|\)[rad]<<1のとき \(\sin\theta≒\theta≒\tan\theta\) , \(\cos\theta\)≒1  (1)
を押さえよう。(1)は数学の教科書に載っている(念のため)。\(\theta\)≒3° ≒0.0524radのとき \(\sin\theta\)≒0.0523, \(\tan\theta\)≒0.0524, \(\cos\theta\)≒0.999だから、3°に対しては1/1000の誤差しかない精度の良い近似式であることが分かる。
 図1でおもりの座標\(y=\)糸の長さ\(l-l\cos\theta\) [(1)を用いて] ≒\(l-l×1=0\)
 ということは、単振り子はおもりの上昇分\(y\)を無視できて、\(x\)軸上の直線運動と見なしてよいということである。これは図2を見れば一目瞭然で、円弧が\(x\)軸からせり上がっていく分がほとんど無視できている。

 \(x\)軸上の直線運動だから\(y\)方向はつり合いが成り立ち、図1黄色より
  \(0=S\cos\theta-mg\)  ∴ \(\displaystyle S=\frac{mg}{\cos\theta}≒mg \) [(1)を用いた]
 運動方程式の\(x\)成分(図1赤、右向き正) \(ma=-S\sin\theta=-mg\sin\theta\)
  [図1より] \(\displaystyle =-mg\frac{x}{糸の長さl}=-\frac{mg}{l}x \)
 両辺\(m\)で割って \(\displaystyle (a=)\frac{d^2x}{dt^2} =-\frac{g}{l} (x-0) \)
 これを単振動の方程式 \(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} =-\omega^2 (x-x_c) \) と比べることにより
 \(\omega\) \(\displaystyle =\sqrt{\frac{g}{l}} \) 、 \(x_c\) \(=0\)                (2)
と読み取れる。そう、単振り子は\(x\)軸上の単振動なのである(1-18-1図4参照)。少し補足をしておくと、加速度\(\displaystyle a=\frac{d^2x}{dt^2} \)は1sあたりの速度の変化だから、平たく言うなら速くなったり遅くなったりの様子を定める量。加速度が定数なら等加速度運動。一方、加速度\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} =-\omega^2 (x-x_c) \)の形(これは1-22-1でやった通り単振動の定義式である)になったら、単振動である証拠なのだ。あとは(2)の\(\omega\)を1-23-1の周期公式\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega} \)に代入して
 周期\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \)
 \(T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)は問題文で「導出せよ」と言われない限り断りなく使ってよい公式で、出題率も極めて高いから、ぜひ覚えておきたい。分子の\(l\)を「リン」と読み、分母の\(g\)を「ゴ」と読んで、「リンゴの公式」と言ったりもする(昭和の頃からあるネーミングのようだ)。

Posted by AKJ