2-18-2: 全反射 ＜例題＞

全反射がどのように出題されるのか、具体的に練習をしてみましょう！　　　　　　　　　　　　　

例題　

　図のように角AOBが直角の、ガラスでできたプリズムを空気中に置き、レーザー光線を当てた。レーザー光線は、OA面上の点Pに入射角\(i\)で入射し、角\(r\)で屈折したあと、OB面上の点Qからプリズムの外に出た。空気とガラスの屈折率をそれぞれ1,\(n\)とする。
　いま、入射角\(i\)がある角\(i_0\)になったときに、レーザー光線はOB面から外に出なくなった。角\(i_o\)と屈折率\(n\)との間にどんな関係が成り立つか。次の①～⑥のうちから正しいものを一つ選べ。　
①　\(\sqrt{1-n^2 \cos^2 i_0} =n \)　　②　\(\sqrt{n^2 -\cos^2 i_0} =1 \)　　
③　\(\sqrt{1-n^2 \sin^2 i_0} =n \)　　④　\(\sqrt{n^2 -\sin^2 i_0} =1 \)　　
⑤　\(n\sin i_0 =1 \)　　⑥　\(n\cos i_0 =1 \)　　

解答・解説

　「OB面から外に出ない」とは点Qで全反射が起きるということ。そこで、臨界状況とは屈折角が90°の状況であることを意識して、図１のような作図をしておこう。三角形の内角の和は180°だから、図中の角＊=90°\(-r_0\)に気付ければ、しめたもの。

　もちろん関係する法則は屈折の法則（\(n×\sin\theta \)=一定）で、
　点Pでの屈折則　\(\sin i_0 =n\sin r_0 \, \)　　　　　(1)
　点Qでの屈折則　\(\sin (90°-r_0) =1\cdot \sin 90° \)
　　つまり　\(\displaystyle \cos_0=\frac{1}{n} \)　　　　　　　　　　　(2)
　あとは(1)、(2)から\(\)を消去すれば、選択肢にあるような答の形に持ち込める。　　[ 選択肢を意識しながら、式変形しよう ]　
　具体的には、(1)より　\(\displaystyle \sin r_0 =\frac{1}{n} \sin i_0 \)　　(3)　
　(3)の２乗と(2)の２乗を足して
　　\(\displaystyle \sin^2 r_0 +\cos^2 r_0 =\frac{1}{n^2} \sin^2 i_0 +\frac{1}{n^2} \)　
　\(\sin^2 r_0 +\cos^2 r_0 =1 \)より\(r_0\)が消去できて　\(\displaystyle 1=\frac{1}{n^2} \sin^2 i_0+\frac{1}{n^2} \)　
　　∴　\(n^2=\sin^2 i_0 +1\)　　∴　\(\sqrt{n^2-\sin^2 i_0 } =1 \)　　　　答　④