1-14-2: 弾性力 ＜例題＞

さっそく弾性力のエクササイズをしてみましょう！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例題　

　図のように、角度\(\theta \)だけ傾けた板の上端Aに、重さが無視できるばねの一端を固定して、ばねの他の端に質量\(m\)の小物体を取り付けた。ばね定数を\(k\)、小物体と板との間の静止摩擦係を\(\mu \)、重力加速度の大きさを\(g\)とする。

問１　\(\mu =0\)の場合、ばねが自然の長さから\(x_0\)だけ伸びた位置で小物体はつり合った。\(x_0\)はいくらか。正しいものを、次の①～④のうちから一つ選べ。
①　\(\displaystyle \frac{mg}{k} \)　　②　\(\displaystyle \frac{mg}{k} \sin\theta \)　　③　\(\displaystyle \frac{mg}{k} \cos\theta \)　　④　\(\displaystyle \frac{mg}{k} \tan\theta \)

問２　\(\mu \ne 0\)の場合、ばねの自然の長さからの伸び\(x\)が\(x_0\)より大きくても、その差\(x-x_0\)が小さければ、小物体はつり合いの状態で静止する。このとき、小物体が静止する\(x-x_0\)の最大値はいくらか。正しいものを、次の①～⑥のうちから一つ選べ。
①　\(\displaystyle \frac{\mu mg}{k} \sin\theta \)　　②　\(\displaystyle \frac{2\mu mg}{k} \sin\theta \)　　③　\(\displaystyle \frac{\mu mg}{k} \cos\theta \)
④　\(\displaystyle \frac{2\mu mg}{k} \cos\theta \)　　⑤　\(\displaystyle \frac{\mu mg}{k} \tan\theta \)　　⑥　\(\displaystyle \frac{2\mu mg}{k} \tan\theta \)

解答・解説

問１　\(\mu =0 \)とは、摩擦力を考えなくてよいという意味。1-08-1: 力学攻略の基本　の流れに従って行く。
　まず軸と力（図１）
　次に\(ma=F\)
　\(x\)方向: \(0=kx_0-mg\sin\theta \)　　　　(1)
　∴　\(\displaystyle x_0=\frac{mg}{k} \sin\theta \)　　　　答　②

問２　\(\mu \ne 0 \)とは、摩擦力が働くという意味。
　ここで問われているのは、すべらないための条件。これを求めるために、1-09-1の摩擦力のグラフを思い出そう（図２）。物体を動かそうとする力\(f\)(横軸)が大きくなるにつれ、静止摩擦力\(R\)(縦軸)も大きくなっていく（ⓐ）が、\(R\)が最大摩擦力\(\mu N\)（ⓑ）を超えないうちは、物体はすべり出さない。よって、すべらないための条件は\(R\)≦\(\mu N\)だ。

　つまり、摩擦力がらみですべらないための条件を求めるには、
I.　すべっていないと仮定して静止摩擦力\(R\)を運動方程式で求める
II.　\(R\)≦\(\mu N \)とする ―― (✩)

　まず軸と力　問１のときののび\(x_0\)よりも問２ののび\(x\)の方が大きいと問題文にあるから、問１の弾性力\(kx_0\)よりも問２の弾性力\(kx\)の方が大きい。ということは、摩擦がなければ物体は斜面をすべり上がろうとする（図３）。摩擦\(R\)はすべるのを妨げるから、斜面平行下向きに働く。（このように、摩擦がなかったらどちら向きにすべるだろうかと考えると、摩擦の向きは分かる）

　次に\(ma=F\)
　\(x\)方向: \(0=kx-mg\sin\theta -R \:\, \)　 (2)
　\(y\)方向: \(0=N-mg\cos\theta \: \)　　　　 (3)
　(2)より　\(R=kx-mg\sin\theta \)
　(1)より得られる \(mg\sin\theta =kx_0 \) を代入して
　　\(R=kx-kx_0 \)　　　　　　　　　(4)
　(3)より　\(N=mg\cos\theta \:\, \)　　　　　 (5)
　(4)、(5)を式(✩)に代入　\(k(x-x_0)≦\mu mg\cos\theta \)
　∴　\(\displaystyle x-x_0≦\frac{\mu mg}{k}\cos\theta \)　　　　答　③